大略在咱们生存的六合中，欧几里得的定理是空幻的，但偏差小到用咱们最佳的测量器具亦然战胜测量不到的。有莫得可能解析咱们是否简直生存在一个欧氏几何为简直寰球里呢？大巨额推敲过早期非欧几何学的数学家似乎对这个问题不太热心。对他们来说，这一切不外是与履行无关的综合数学。

要解开第五公设的谜团，咱们只需问我方一个问题：《几何蓝本》的几何时局和圆盘的几何时局是否不错辨认开来？在和一个降生未明的几何学家探讨时，是否可能知谈他所说的是欧几里得的几何，如故贝尔特拉米的几何？是否可能对他提倡一个凭据不轸恤况谜底也会有所不同的问题？

因此，让咱们深吸连气儿，从《几何蓝本》中聘用一些论断，然后提倡问题。一个两千年的悬念行将被揭晓。

好的，咱们就以正方形为例。欧几里得的几何学里有正方形，但飞翔员的几何学里却莫得。那在贝尔特拉米的几何寰球里呢？是否存在四条边额外且有四个直角的图形呢？

你瞧，他们拿出直尺和角尺初始绘制形。可惜呀，他们的每一次尝试齐以失败告终。画出来的图形要么缺一个直角，要么有一条边和其他边不额外，老是在某个方位卡壳（图 4.25）。又试了几次之后，他们不得不面临事实：圆盘中不存在正方形。因此，也不存在误会。因此咱们的问题就有了谜底。

之是以莫得正方形，是因为无法仅凭前四个公设来讲明正方形的存在。第五公设必不可少。史上最有名的数常识题就这么产生了。欧几里得的几何学需要它的五个公设，弗成莫得临了一个公设。

请你花点儿工夫归来一下这段陈诉，细细试吃它的力量和精妙之处。你是否意志到，通俗的角度转动就能让一个两千多年悬而未决的问题重现期望？为了措置这个问题，只需创造一个遐想的寰球，这个寰球里的几何学家给“直线”这个词赋予的含义与咱们的不同。除此除外，莫得高出之处。不外是角度的问题。这种讲明号称微妙、新颖和斗胆的巧技。它是东谈主类念念想的遗址。

剧情就这么结果了，如斯一忽儿，简直令东谈主失望。这听起来好意思好得让东谈主难以置信。第五公设在死后留住了一块空缺，一种不安全的嗅觉。面临这一讲明，最难的不是连结它，而是试吃它一起的精妙，懂得如何去试吃，用组成这一讲明的寥寥数语杀青爽气明了、摧枯拉腐的优雅。

第五公设的讲明并非这些因习气而受到侵蚀的办法。跟着工夫的荏苒，这些办法日渐完善。每当咱们归来这些办法时，它们就会欢腾出新的光彩。我对它们从未有过厌倦之情，每当我的念念绪停留在它们身上时，我齐会慷慨不已。

就这么，咱们的浩劫题措置了。但既然咱们仍是走到了这一步，那就让咱们再多走一段如何？贝尔特拉米和庞加莱圆盘的几何十足号称奇妙，而若是把对它的探索只是局限在正方形上，那就太可惜了。

一方面，《几何蓝本》中的许多论断在圆盘的几何中并不建立。用正方形来解释，那么一些经典的定理，比如泰勒斯或毕达哥拉斯的定理，也会被淡忘。但另一方面，许多在欧几里得的几何中无法建立的东西会成为可能。许多新的定理出现了，还有新的图形出现了。

比如直角正五边形。这是一些具有五条额外的边和五个直角的图形。在欧氏几何中，正五边形的内角一定是 108°。在圆盘几何中却存在直角五边形，咱们致使不错把这些五边形堆砌起来，也便是用并置的五边形把名义遮掩起来。在厨房和浴室里，咱们经常会使用方形瓷砖。而圆盘上的住户则不错使用五边形瓷砖。

平日说来，圆盘上的贴砖工不错提供的产物种类要远远多于东谈主类贴砖工不错提供的产物种类。图 4.26 中展示的是圆盘上的贴砖工产物目次中的一些产物。有正五边形瓷砖，也有内角为 60° 的四边形瓷砖，还有内角为 120° 的七边形瓷砖，以及在欧氏几何中不可能存在的许多组合图形。

看着这些瓷砖镶贴，咱们会合计并非统统瓷砖的时局齐通常，但这只是舆图扭曲的效用。在你看到的每一个例子中，统统的瓷砖在圆盘住户的眼中齐具有疏通的大小和时局。

咱们越是深入探究贝尔特拉米和庞加莱寰球的运挪动制，就越会意志到第五公设的缺席给了咱们怎么的解放。贝尔特拉米和庞加莱的几何比咱们的几何要天真得多，也丰富得多。瓷砖镶贴的例子令东谈主印象久了。欧氏几何中只存在三种完全司法的瓷砖：正方形、等边三角形和正六边形（图 4.27）。相悖，圆盘中的司法图形则是无尽的！

仅第五公设就能讲明圆盘几何。在欧氏几何只好一条平行线的情况中，圆盘几何则有无数条平行线。咱们还不错给出圆盘几何中三角形千般性远远胜过欧氏几何中的例子。关于欧几里得而言，统统三角的角度之和齐等于 180°。关于贝尔特拉米而言，这个角度之和老是小于 180°，但有可能发生变化。三角形有许多，其角度之和不错是从 0°到 180° 的狂放值。简而言之，在各个方面，圆盘几何齐要天真得多，且提供了欧氏几何无法提供的繁多可能性。

然而，仔细想想，咱们刚才看到的不同的非欧几何图形，岂论是飞翔员的图形如故贝尔特拉米的图形，齐仍然带有某些欧氏几何的陈迹。在小边界内，咱们简直看不到其中的互异。换句话说，若是你只画很小的几何图形，那么《几何蓝本》中的定理就会建立。

咱们再次以球面几何为例。咱们的星球是曲折的，但行为东谈主类，咱们对此简直察觉不到。在咱们的日常生存中，地球就像幽谷通常。只好飞翔了数千千米的飞翔员才有可能察觉到曲率对他们的几何产生的影响。只须你流程的距离够短，互异便是不可见的。在球面几何中，既莫得正方形，也莫得长方形，因此从表面上来说，国外足球和洽会比赛司法第一条所规矩的足球场便是不存在的。地球上不可能存在有四个直角的足球场。然而，就这种足球场的边界而言，偏差仍是小到无法察觉。

贝尔特拉米和庞加莱圆盘亦然如斯。当咱们把圆盘看作一个全体时，上头的直线在咱们眼中就会显着地涌现为弧线。但若是把圆盘放到满盈大，曲率就会越来越小（图 4.28）。何况咱们越是看小的事物，圆盘住户的感知和咱们的感知之间的互异就会越拖沓。举例，咱们有可能画出和正方形简直一模通常的图形。这些图形的角度不是偶合90°，而是 89.9°。

因此，若是圆盘几何学家的测量器具不够精准，他们就很可能会产生身处欧氏几何寰球的错觉。他们所在空间的曲率在他们的程序上可能无法被察觉。他们会凿凿有据地告诉你，在他们的寰球里，正方形是存在的，因此第五公设是建立的。

这种念念考令东谈主昏厥。怎么才能让它不会回转并与咱们对立呢？现时让咱们回到“直线”这个词的本义上。它的本义不是飞翔员所连结的真义，也不是贝尔特拉米所连结的真义，它真实的真义，是咱们所连结的真义。你能详情这些直线考据了欧几里得的公设吗？

遐想一下，咱们真实的六合等同于贝尔特拉米和庞加莱圆盘的三维版块。它是一个雄壮的球，在这个球里，统统集合其旯旮的物体齐会收缩，因此，这个球对其住户而言似乎是无尽的。欧氏几安在这个球上便是无法建立的。直线在那处就会是弧线。然而，咱们这些被困在广袤六合中一粒蓝色尘埃上的轻飘生物对此是无法感知到的。在咱们的程序上，咱们将无法察觉到这些被咱们称为“直线”的雄壮线条的曲率。

大略在咱们生存的六合中，欧几里得的定理是空幻的，但偏差小到用咱们最佳的测量器具亦然战胜测量不到的。有莫得可能解析咱们是否简直生存在一个欧氏几何为简直寰球里呢？

大巨额推敲过早期非欧几何学的数学家似乎对这个问题不太热心。对他们来说，这一切不外是与履行无关的综合数学。措置了第五公设，并创造出这些奇妙的寰球，这种竖立感就足以让他们感到幸福了。

接下来必须要说的是，那时的他们莫得太多怀疑的根由。行之有用的牛顿表面是以欧氏几何为基础的。边界再大的天文测量也从未发现过欧几里得、牛顿和履行之间存在不合的迹象。简而言之，莫得第五公设的几何学好意思不堪收，但它们只是数学的综合。关于大部分 19 世纪的科学家来说，咱们的六合毫无疑问是欧几里得式的六合。

自后，在 1905 年，德国物理学期刊《物理年鉴》（Annalen derPhysik）刊登了一篇长达 30 页、名为《论动体的电能源学》（“ZurElektrodynamik bewegter Körper”）的著作。这篇论文始终地调动了咱们对六合、空间和工夫的想法。它的作家是一位那时年仅 26 岁的年青物理学家，名叫阿尔伯特·爱因斯坦。他提倡了一种表面：相对论。

上文转自图灵新知，节选自《数学的雨伞下》，【碰见数学】已获转发许可。

作家：[法]米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）

译者：欧瑜

法国数学学会“达朗贝尔奖”得主新作数学，是连结寰球骨子与万物推断的器具撑开数学之伞，享受念念考之趣